小學就會背的乘法表，還藏著這么多秘密？

乘法表可以追溯到4000多年前的巴比倫人十進制最早的例子出現在公元前300年左右的中國竹簡做的乘法表可以計算小于99.5的整數和半整數的乘積此外，我們可以認出公元100年左右尼古拉斯在《算術導論》中提到的畢達哥拉斯表

最早的十進制乘法表之一，出現在公元前300年左右的中國，是用竹簡做的。

現在在學校里，乘法表是學生死記硬背，快速記憶練習學習乘法的工具雖然有人認為掌握乘法表本身就是一種成就，但也為學生打下了堅實的數學基礎讓我們深入研究一下，從一些有趣的角度來揭示隱藏在乘法表中的奧秘

三角形數字

在解釋什么是三角數之前，我們先來看看這個乘法表，看看我們能用它做什么表格的第一行和第一列包含數字1到10，而其他正方形則填充有行中第一個數字和列中第一個數字的乘積

在我們的表的頂部和左側添加一行/列0，這仍然是一個乘法表，只是為了讓我們看到下面的一些模式。

現在，讓我們把2的倍數對應的方塊涂成藍色這意味著對應于2的倍數的所有行和列也是藍色的，所以我們得到一個藍色的網格不，這個藍色格子里的方塊都是白色的

現在，讓我們把所有的方塊都涂成3的倍數的藍色和以前一樣，我們得到一個藍色網格，其中的行和列都對應于3的倍數

如果我們把所有4的倍數的方塊都涂成藍色，我們也可以得到一個藍色的網格在這種情況下，藍網多出來的地方形成一個3×3=9個小方塊的正方形這些方塊不是完全白色的，因為中間的方塊是藍色的發生這種情況是因為4不是質數

一般來說，如果你選擇一個正整數k，用藍色表示乘法表中k的所有倍數，那么你會得到一個對應的藍色格子，剩下的2個小方格就組成一個正方形k是不是質數決定了這些方塊是純白的還是包含一些藍色的小方塊

這個很有意思，我們換一個k，下圖是我們從k=6得到的圖案。

讓我們看看三角形數字是如何出現在圖表中的三角形是一個數，可以用一組點組成的圖案來表示，這些點排列成等邊三角形，每邊有相同數量的點，間距相同

例如:

第一個三角形數是1，第二個是1+2=3，第三個是1+2+3=6，第四個是1+2+3+4=10，依此類推。通常，第n個三角形數Tn是第一個數1到n的和:

怎樣才能在乘法表的方塊中找到這些幻數首先我們再來看乘法表，3的倍數對應的方塊是藍色的:沒有什么意思)

將這個白色方塊中的數字相加得到:

9不是三角數，但它是三角數的平方準確地說，它是第二個三角數T2的平方

現在，我們來看看將乘法表中4的倍數對應的方塊涂成藍色后得到的第一個白色方塊:

將這個方塊中的數字相加得出結果:

在這種情況下，總和等于第三個三角形數的平方。

用不了多久你就會發現k=5和k=6也有同樣的規律。

當k=5時，第一個方塊中的數字之和:

當k=6時:

這是普遍規律嗎。

讓我們用藍色畫出k的任意倍數都是這樣的嗎如果是的話，那么將涂藍色的乘法表中k的倍數所圍成的第一個方塊中的所有數字相加后，就可以得到第k—1個三角形的數字Tk—1

讓我們看看這是不是正確的。在乘法表中，我們會看到第一行方塊的組成數是:

第二行用這些數字乘以2:

第三行用第一行的數字乘以3:

以這種方式逐行繼續，直到正方形的最后一行:將第一行中的數字乘以:

再次添加這些行中的數字:

提出，公式就變成了:

如上所述:

因此，我們證明了第一個大正方形中所有數的和Tk—12等于第k—1個三角形的數的平方。

平方數

在整數的海洋中，乘法表主對角線上的紅色數字顯然是平方數——整數的二次方。

你不僅可以在乘法表中找到三角數，還可以找到平方數在前面的介紹中，我們知道乘法表中數字k的倍數用藍色填充，這些藍色方塊所圍成的方塊中的數字之和與一個三角形的個數有關平方和等于(2n—1) Tk—12，其中m和n分別代表從頂部和左側開始的平方，Tk—1是第k—1個三角形的編號

我們可以看到主對角線上藍色倍數包圍的平方和也是平方數。這一點從文章原來的求和公式中很容易證明，因為縱橫位置相同，我們在公式中只用m:

分割網格

如果深入研究乘法表中其他不同大小和位置的網格結構，我們可以發現更多的平方數基于主對角線的正方形網格似乎總是產生平方數，而這個平方數與所選網格共享的列指示器和行指示器的總和密切相關

從第二行第二列的單個方塊中得到方塊數22 = 4，第3行和第4行與第3列和第4列重疊的地方有四個正方形(紅色)將四個方塊中的數字相加得到(3+4)2 = 49，第五，第六和第七行與第五，第六和第七列重疊形成九個正方形(綠色)把這九個方塊的數字加在一起得到(5+6+7)2=324

左邊是行指示器，上面是列指示器的乘法表。

當正方形是由不連續的行和列相交而成時，這似乎也是正確的如果我們取第1，4，8行和第1，4，8列的交集，網格中中間數字的和是:(1+4+8)2=169

對于乘法表中A，B，C三個整數定義的平方，通過數學運算可以得到適用于這三個數的公式。在上面的例子中，正方形中的數字之和是:

更一般地說，有:

通過對同一行索引和對應的列索引的交集平方中的數字求和，得到行/列索引和的平方這個可以擴展到4個數字，5個數字，甚至更多嗎

正方形的平方數和立方體的平方數。

基于這些知識，我們可以發現一些特殊的模式例如，我們來看看連續奇數的行指示符和列指示符對應的行你很快就會發現，連續奇數之和等于一個平方數

因為連續奇數的和是平方數，所以對應于連續奇數的行/列指示符的和是平方數那么行/列指示符之和的平方將是一個平方數的平方:即一個數的四次方所以我們可以利用這種特殊的格形式，從乘法表中得到正整數的四次方

將連續奇數行和連續奇數列交點處的藍色方塊相加，得到四次方的數字。

我們可以用另一個有趣的結論，一個立方數可以寫成連續奇數的和比如13=1，23=8=3+5，33=27=7+9+11因此，如果我們選擇這些連續奇數行和列的交點處的正方形格子，這些正方形格子中的數之和將是一個立方數的平方，即一個數的六次方下面的綠色方塊是第3行和第5行以及第3列和第5列的交點，它們的和是(3+5)2=(23)2=26黃色方塊是第7，9，11行和第7，9，11列的交點，它們的和是(7+9+11) 2 = (33) 2

數學老師總是在尋找新的方法來引入乘法，指數和代數的概念如果跳出思維定勢，我們會發現乘法表不僅僅是記憶乘法表的工具如果我們選擇潛入深藍色的水域，我們會在她的海底發現許多數學寶藏

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