天才高斯——19世紀最偉大的數學家之一，近代數學的奠基者

卡爾·弗里德里?！じ咚故莻€神童在年底前19年，他有了一個非凡的發現2000多年來，人們已經知道如何用尺子和圓規做出等邊三角形和正五邊形，卻不知道如何用質數做出正多邊形高斯證明了一個正七邊形也可以用尺子和指南針畫出來

高斯通過寫日記來紀念他的發現，在接下來的18年里，他在這本日記中記錄了他的許多發現當他是學生的時候，他取得了很多成功有的是18世紀歐拉，拉格朗日等數學家證明的定理的重新發現，其中許多都是新發現在他學生時代比較重要的發現中，我們可以挑出最小二乘法，數論中二次互反定律的證明以及他對代數基本定理的研究他獲得了博士學位，學位論文的題目是所有一元有理代數整函數都可以分解為第一或第二實因子的定理的新證明這是他一生中發表的代數基本定理的四個證明中的第一個在這篇文章中，高斯強調了在證明這個定理的過程中，證明至少一個根的重要性下面的解釋可以說明他的想法

我們可以用圖解法解這個方程。

證明了有一個復數值z=a+bi滿足這個方程用a+bi代替Z，把方程的實部和虛部分開，得到A 2—B 2 = 0，ab—2=0將A和B解釋為變量，在同一個坐標系中畫出這些函數一個坐標軸代表實部A，另一個坐標軸代表虛部B，我們有兩條曲線，一種是由直線a+b=0和a—b=0組成，另一種是由等邊雙曲線ab=+2組成

顯然，兩條曲線在第一象限有一個交點P我們要特別注意，第一條曲線的一個分支沿著θ=1π/4和θ=3π/4的方向離開原點，第二條曲線的一條分支漸近地向θ=0π/4和θ=2π/4移動，交點在后兩個方向θ=0和θ=π/2之間這個交點A和B的坐標是方程Z 2—4i = 0的解的實部和虛部如果我們原來的多項式方程是三次的而不是二次的，那么一條曲線的一個分支將接近θ=1π/6和θ=3π/6的方向，另一條曲線將接近θ=0π/6和θ=2π/6的方向在任何情況下，這些分支都是連續的，因此它們必須在θ=0到θ=π/3之間的某個位置相交

對于n次方程，曲線的一個分支具有漸近方向θ=1π/2n和θ=3π/2n，而另一個分支具有漸近方向θ=0π/2n和θ=2π/2n這些分支必須從θ=0到θ = π/n相交，A和B在這個交點的坐標就是滿足這個方程的復數的實部和虛部所以我們可以看到，一個多項式方程無論是什么次數，都至少有一個復根我們會注意到高斯依靠這些曲線的圖形表示來證明它們的相交承認這個結果，證明了多項式方程可以分解為第一或第二實因子

數論

高斯在哥廷根大學讀書時就開始寫一本重要的數論著作《算術研究》，這是數學文獻中的偉大經典之一，在他的博士論文被批準兩年后出版這本書由七部分組成前四部分實質上是18世紀數論的濃縮重建討論的基本原理是同余和剩余類的概念第五部分是二元二次型的理論，特別是形式

方程的解，這部分發展出來的技術，成為了后世代數理論家所做的大量工作的基礎第6部分由各種應用程序組成首先，最后一部分最引人注目，是關于素數割線圓方程的求解

高斯·勒讓德兩年前發表的第二互易定律被稱為黃金定律在他的后期著作中，高斯試圖得到n=3和4的同余x n = p的類似定理，但在這兩種情況下，他發現有必要將整數一詞的含義擴大到包括所謂的高斯整數，即形狀像a+bi的整數，其中A和B都是整數高斯整數形成一個整環，就像實整數一樣，但是更一般整除的問題變得更加復雜，因為5不再是素數，可以分解成兩個素數1+2i和1—2i的乘積事實上，任何形如4n+1的實素數都不是高斯素數，而形如4n—1的實素數仍然是廣義素數高斯的算術研究包括算術基本定理，它是在整個高斯整數環中繼續有效的基本原理之一其實任何因式分解都是唯一的整環，今天叫做高斯整環

任何正整數都可以用一種且只有一種方式表示為質數的乘積。

高斯素數的發現并不都包含在算術研究中。當他還是個14歲的孩子時，高斯用德語在對數表的背面寫下了這樣一行晦澀的文字:

這行文字說的是一個著名的素數定理:當A無限增大時，小于給定整數A的素數個數趨近于a/lna。

正如我們已經看到的，勒讓德是接近發現這個定理，但奇怪的是，正如我們推測的那樣，高斯寫了這個定理，但他對這個巧妙的結論保密我們不知道他是否證明了這個定理，甚至不知道他什么時候寫了這個定理的陳述素數的分布對數學家有很強的吸引力

1845年，當高斯已經是一個老人的時候，巴黎的教授Joseph L . F Bertrand提出了這樣一個猜想:如果ngt3，那么n和2n之間至少包含一個素數這個被稱為伯特蘭公設的猜想是由圣彼得堡大學的帕夫努蒂·切比雪夫在1850年證明的作為他那個時代領先的俄羅斯數學家，切舍夫是羅巴切夫斯基的競爭對手他后來成為法國科學院和英國皇家學會的外籍院士切舍夫顯然不知道高斯關于素數的著作他可以證明，如果π/n在n無限增加時逼近一個極限，那么這個極限一定是1，但他無法證明極限的存在直到切比雪夫死后兩年，一個證據才廣為人知

自歐幾里得時代以來，素數的數目和分布就吸引了許多數學家有一個定理，高斯自己在算術研究中舉了一個驚人的例子，說明了一個事實，素數的性質甚至以最意想不到的方式侵入了幾何領域

在高斯《算術研究》的結尾，收錄了他在數學領域最早的重要發現:正七邊形的做法通過證明無限可能的正多邊形中哪些是可以做的，哪些是不可以做的，他把這門學科引向了它的邏輯結果一般的定理，比如此刻高斯的證明，遠比一個特例有價值，不管這個特例有多壯觀

費馬數

數字是質數，歐拉后來證明這個假設是錯誤的高斯證明了正17邊形是可以做出來的，問題自然產生了:正257邊形和正65537邊形是否可以用歐幾里德的工具做出來

形式，那么，一個規則的N—多邊形可以這個問題還有一個方面高斯沒有回答，至今無人回答

費馬素數的個數是有限的還是無限的。

我們已經知道費馬數對于n=5，6，7，8，9來說不是素數，但是看起來很可能只有5個邊數為素數的正多邊形可以用尺子和圓規做出來，其中兩個在古代就已經知道了，另外三個是高斯發現的有一個高斯很崇拜的人，費迪南·哥德霍爾德·愛森斯坦，柏林的一個數學老師，他增加了一個關于素數的新猜想

等等都是質數據說高斯曾經評價說，劃時代的數學家只有三個:阿基米德，牛頓和愛森斯坦不幸的是，愛森斯坦不到30歲就去世了

高斯的算術研究一直處于沉睡狀態，直到19世紀20年代，C.G.J .雅可比和狄利克雷第一次揭示了一些更深刻的結果是從這項工作中得出的。

高斯對天文學的貢獻

日前，巴勒莫天文臺臺長Josep Piazi發現了一顆新的小行星Ceres但是幾個星期后，小行星就不見了高斯相信自己擁有非凡的計算能力和最小二乘法的額外優勢，他接受了挑戰，從幾個記錄的觀測數據中計算出這顆行星的軌道為了完成從有限的觀測數據計算軌道的任務，他設計了一種方法，叫做高斯法，這種方法至今仍被用來跟蹤衛星結果非常成功這顆行星在今年年底被重新發現，與他計算的位置非常接近高斯的軌道計算吸引了全世界天文學家的注意，并很快為他在德國數學科學家中贏得了顯赫的聲譽當時他們大多從事天文學和大地測量學1807年，他被任命為哥廷根天文臺臺長，并擔任了近半個世紀兩年后，他的理論天文學經典著作《天體運行論》出版這本書為軌道計算提供了明確的指南到他去世時，這本書已被翻譯成英語，法語和德語

可是，軌道計算并不是高斯為自己贏得名聲，為后人鋪平道路的唯一天文領域在19世紀的第一個十年，他花了很多時間研究微擾問題在高斯的好朋友奧爾勃斯于1802年重新發現小行星帕拉斯·雅典娜之后，攝動問題成為天文學家關注的焦點智行的偏心率比較大，特別是受其他星球引力的影響確定這些引力的影響是N體問題的特例

高斯從早年開始就有意識地追隨這兩個天才的腳步，尋找最接近的相似解對他來說特別迷人雖然他認為只有部分成果達到了公開發表的質量，但他對這個問題的研究不僅產生了一些天文學論文，還產生了兩篇經典論文，一篇是無窮級數，另一篇是數值分析的新方法前一篇論文于1812年提交給哥廷根學會，致力于超幾何級數的研究因為本文提出的收斂準則往往被認為開辟了一個嚴格數學分析的新時代但需要指出的是，對收斂性的深入理解并不妨礙高斯和當時其他偉大的數學家在解決物理問題時使用發散級數，只要他們認為自己可以有把握地這樣做

微分幾何的起源

高斯在1827年開創的幾何學分支叫做微分幾何學，它可能更屬于分析學而不是傳統幾何學自牛頓和萊布尼茨以來，人們一直將微積分應用于二維空間中曲線的研究從某種意義上說，這部著作構成了微分幾何的雛形歐拉和蒙田將這一應用擴展到曲面的分析研究，因此，他們有時被視為微分幾何之父可是，直到高斯的經典著作《曲面通論》出版后，才出現了一本完全致力于這一課題的綜合性著作粗略地說，正統幾何感興趣的是給定幾何圖形的整體，而微分幾何關心的是曲線或曲面所在點的鄰域性質在這個方向上，高斯通過定義曲面在一點上的曲率——高斯曲率或全曲率，擴展了惠更斯和克萊爾在平面曲線或非對稱曲線的曲率上所做的工作

如果把好曲面S上的一個點P作為S的法線N，經過N的平面光束將與曲面S相交成一簇平面曲線，每條曲線都有一個曲率半徑曲率半徑最大和最小的曲線的方向稱為S在P點的主方向，它們總是互相垂直的而r的大小稱為s在p點的主曲率半徑，s在p點的高斯曲率定義為K=1/rR

稱為S在p點的平均曲率，高斯根據曲面在不同坐標系中偏導數的條件給出了高斯曲率k的公式他還發現了一些關于畫在曲面上的曲線簇性質的定理，連他自己都認為是了不起的定理

高斯開始用歐拉提出的一個曲面的參數方程來處理曲面高斯證明了曲面的性質只依賴于E，F和g

這導致了許多結果特別是，這使得說曲面的性質是常數變得很容易正是在高斯的這項工作的基礎上，黎曼和后來的幾何學家改變了微分幾何的主題

高斯的晚期作品

高斯的后期研究貢獻了兩篇重要的論文:一篇是代數中哈里奧特定理的證明，另一篇包括高斯的最小約束原理歷史學家經常引用第一篇論文，因為它包含了高斯復數的幾何表示這篇論文整體的重要性在于，它指出了一條將數論從實數域擴展到復數域，甚至更遠的途徑正如上面已經指出的，這在數論領域后來的研究者的工作中是非常重要的

在他生命的最后20年里，高斯只發表了兩篇具有數學意義的重要論文一個是他對代數基本定理的第四個證明這個證明是在1849年他獲得博士學位的周年紀念日發布的，距離他發表第一個證明已經50年了另一篇關于位勢理論的有影響力的論文，發表于1840年在20世紀30年代和40年代初，地磁占據了他的大量時間在20世紀30年代后期，他也花了很多時間研究與重量和測量有關的問題他生命最后十年的大部分出版物都與天文臺的工作有關，涉及的主題有:新發現的小行星和海王星的觀測

日前，高斯死于心臟病發作。